Дискриминант

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ^[1].

Для многочлена [math]\displaystyle{ p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n }[/math], [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math], его дискриминант есть произведение

[math]\displaystyle{ D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i\lt j}(\alpha_i-\alpha_j)^2 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n }[/math] — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена^[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
[math]\displaystyle{ D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p') }[/math], где [math]\displaystyle{ R(p,p') }[/math] — результант многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] и его производной [math]\displaystyle{ p'(x) }[/math].

Примеры

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c }[/math] равен [math]\displaystyle{ D = b^2-4ac. }[/math]

При [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
[math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}= \frac{2c}{-b \mp \sqrt{D}}. }[/math]
При [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
[math]\displaystyle{ x = -\frac{b}{2a}. }[/math]
При [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math] вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряженных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
[math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}. }[/math]

[math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{D}} = \frac{2c}{-b \pm i\sqrt{|D|}}. }[/math]

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена [math]\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d }[/math] равен

[math]\displaystyle{ D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd = 27\left(6a\frac{b}{3}\frac{c}{3}d - 4\left(a\left(\frac{c}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{3}\right)^3d\right) + 3\left(\frac{b}{3}\right)^2\left(\frac{c}{3}\right)^2 - a^2d^2\right). }[/math]

В частности, дискриминант кубического многочлена [math]\displaystyle{ x^3+px+q }[/math] (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен [math]\displaystyle{ -4p^3-27q^2 = -108\left(\left( \frac{p}{3} \right)^3+\left( \frac{q}{2} \right)^2\right). }[/math].

При [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
При [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
При [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math] кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени

Дискриминант многочлена четвёртой степени [math]\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e }[/math] равен

[math]\displaystyle{ \begin{align} D &= 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4\ + \\ &+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e\ - \\ &- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2. \end{align} }[/math]

Для многочлена [math]\displaystyle{ x^4+qx^2+rx+s }[/math] дискриминант имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{align} D &= 256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2 = \\ &= 256\left(s^3-18\left(\frac{q}{6}\right)^2s^2-27\left(\frac{r}{4}\right)^4-54\left(\frac{q}{6}\right)^3r^2+54\left(\frac{q}{6}\right)\left(\frac{r}{4}\right)^2s+81\left(\frac{q}{6}\right)^4s\right). \end{align} }[/math]

и равенство [math]\displaystyle{ D=0 }[/math] определяет в пространстве [math]\displaystyle{ (q,r,s) }[/math] поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

При [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math] многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
При [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена [math]\displaystyle{ x^4+qx^2+rx+s }[/math]^[2]:

если [math]\displaystyle{ q \geqslant 0 }[/math], то все корни комплексные;
если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s \gt \frac{q^2}{4} }[/math], то все корни комплексные;
если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s \lt \frac{q^2}{4} }[/math], то все корни вещественные.

При [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее^[2]:

если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s \gt \frac{q^2}{4} }[/math], то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ -\frac{q^2}{12} \lt s \lt \frac{q^2}{4} }[/math], то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s = \frac{q^2}{4} }[/math], то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
если [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s = -\frac{q^2}{12} }[/math], то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
если [math]\displaystyle{ q \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ s \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ r \neq 0 }[/math], то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если [math]\displaystyle{ q \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ s = \frac{q^2}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math], то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
если [math]\displaystyle{ q \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s = 0 }[/math], то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если [math]\displaystyle{ q = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s \gt 0 }[/math], то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если [math]\displaystyle{ q = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ s = 0 }[/math], то один вещественный корень кратности 4.

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл английский математик XIX века Джеймс Джозеф Сильвестр^[3].

См. также

Результант

Литература

Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Примечания

↑ Дискриминант многочлена // Математический справочник.
↑ ^2,0 ^2,1 Rees, E. L. Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1922. — Vol. 29, no. 2. — P. 51—55. — doi:10.2307/2972804.
↑ Matrices and Determinants — Numericana (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2010. Архивировано 1 июня 2010 года.

[1] Дискриминант многочлена // Математический справочник.

[autogenerated1-2] 2,0 ^2,1 Rees, E. L. Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1922. — Vol. 29, no. 2. — P. 51—55. — doi:10.2307/2972804.

[3] Matrices and Determinants — Numericana (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2010. Архивировано 1 июня 2010 года.

[1]

[2]

[3]